Lærerveiledning1

LÆRERVEILEDNING

Dette digitale læremiddelet er til for å introdusere elevene til annengradsfunksjoner på tiende trinn. Opplegget er bygd opp for å veilede elevene gjennom et utforskende opplegg slik at de får kjennskap til annengradsfunksjoner.

__For dette læremiddelet har vi tatt utgangspunkt i kunnskapsmålene:__
 * lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar.
 * identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og kvadratiske funksjonar og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane.

Vi anbefaler at lærer har en felles oppstart for å bevisstgjøre elevene på hva timen skal dreie seg om, og presenterer mål for timen.

Elevene skal kunne: - beskrive og tolke funksjoner ut fra graf, tabell og tekst - gjenkjenne og utnytte egenskapene til annengradsfunksjoner

Elevene skal jobbe i heterogene grupper gjennom hele oppgaven i tillegg til samtale i oppstart, underveis og i avslutning. Vi har lagt stor vekt på at elevene skal kommunisere matematikk når de jobber med dette læremiddelet.

Oppstart: Økten starter med at læreren er en funksjonsmaskin. Elevene sier et tall som bearbeides av læreren. Oppgaven for elevene er å finne ut av hva funksjonsmaskinen gjør. Det kan for eksempel være at tallet blir multiplisert med 3. Vi begynner med lineære funksjoner for å både knytte arbeidet for denne økta opp mot tidligere arbeid samt videre arbeid med andregradsfunksjoner. Vi velger lineære funksjonsuttrykk til funksjonsmaskinen i tillegg til noen annengradsuttrykk slik at elevene ser at funksjonsmaskinen også fungerer på lik måte selvom vi behandler annengradsuttrykk. Vi gir funksjonsuttrykket x^2.

Spørsmål til samtale i etterkant:

- hva var egentlig de tallene dere ga meg? hva kaller vi disse verdiene? Variabelbegrepet (mulighet for å avdekke misoppfatninger og bruke disse til diskusjon).

Videre Presenter siden for elevene. Her finner vi ulike oppgaver som man blir veiledet gjennom i stigende rekkefølge.

Oppgave 1 Den første oppgaven er en videreføring av det vi gjør i oppstarten. Her møter elevene en funksjonsmaskin vi har kalt funksjonshuset. De får arbeide med ulike funksjonsmaskiner og til slutt skal de også være funksjonsmaskiner for hverandre. Den ene er funksjonsmaskinen og bestemmer hva som skal skje med tallene, den andre prøver å gjette hva funksjonsmaskinen gjør ved å gi eksempler på tall.

Matematiske utfordringer for elevene er for det første å komme frem til løsningen på funksjonsuttrykkene i tillegg til å formulere uttrykket matematisk. En annen utfordring er å samarbeide i hetrogene grupper - må eventuelt sette ord på matematikken for å gjøre seg selv forstått.

Oppsummering: I introduksjonen ender vi opp med x^2 som funksjonsuttrykk. Gjennom samtale hentes dette opp igjen som utgangspunkt for neste oppgave. Vi ønsker å bli enige med elevene om at x^2 er et funksjonsuttrykk som en overgang til neste oppgave.

En mulig misoppfatning her er forskjellen mellom 2x og x^2 og dette arbeidet er en overføring fra likningene vi jobbet med i praksis ettersom flere trodde 2x var det samme som x^2 - diskutere forskjellen. Selvom vi ikke får dypdykket i denne eventuelle misoppfatningen, kan vi allikevel nå ut til noen.

Oppgave 2 2.1. A: Her møter elevene et koordinatsystem i tillegg til funksjonsuttrykket x^2 hvor de skal stille hypoteser for hvordan de tror grafen vil se ut ved å plotte punkter på grafen. De skriver ned hypotesen i tekstboksen på siden før de går videre. Ved at elevene skriver hypotesen i tekstboksen får de satt ord på tankene sine som vi som lærere får innsikt i. Svarene fra alle tekstboksene kommer direkte inn på pc’en til læreren.

B: Elevene undersøker om hypotesen stemte ved å sette inn verdier for x i tabellen. Tabellen regner ut verdien for f(x) og fører inn punkter i grafen. Elevene skal deretter skrive om hypotesen stemte, hvorfor og hvorfor ikke.

Felles samtale, eventuelt veiledning direkte til gruppene: - Hva skjer med grafen hvis du velger negative verdier for x? - Hva er f(x) hvis x er 0? - Hva skjer med grafen hvis du velger en høy verdi for x? → Hvis vi hadde hatt mer tid hadde vi ønsket å ha hva hvis spørsmålene våre som trykkbare knapper til hver av oppgavene i opplegget. Matematiske utfordringer kan være at de bare har holdt på med lineære funksjoner og at de nå kommer til en type graf de ikke har jobbet med tidligere. En annen utfordring kan være det å forstå at når du setter inn en x-verdi får vi en y-verdi og derfor ser grafen ut slik den gjør. I en lineær funksjon får du en negativ y-verdi når du setter inn en negativ verdi for x, dette skjer ikke med grafen de nå blir presentert for. Dette kan være med på å forhindre misoppfatninger i de andre oppgavene ved at vi bruker tid på å se hvorfor grafen ser ut som den gjør.

2.2. Elevene undersøker videre med glidere. De får presentert annengradsuttrykket for første gang - de skal utforske på egenhånd hva verdien på de ulike parametrene gjør med grafen.

Hva hvis spørsmål til felles samtale: - hva skjer når vi endrer verdien til a? Negativ, positiv, null. - hva skjer når vi endrer verdien til b? Negativ, positiv, null. - hva skjer når vi endrer verdien til c? Negativ, positiv, null.

Hensikten med denne oppgaven og samtalen i etterkant er at elevene skal bli kjent med annengradsfunksjoner, utforske parametrene og hva de gjør med grafen. Oppgaven er tilpasset alle elever, ettersom man uavhengig nivå kan delta i denne oppgaven ved å dra i gliderene og undersøke hva som skjer. Misoppfatninger: forskjellen mellom parametere og variabler. Parametere er ulike fra funksjon til funksjon, mens variablene kan være hva som helst. f(x) er avhengig av hva x er. Parameterne er ikke avhengig av hva x er.

De matematiske utfordringene her ligger i å forstå hva som skjer når du drar i de ulike gliderne. Misoppfatning: mange elever tror grafen starter på y-aksen ettersom det ofte blir presentert grafer hvor kun 1.kvadrant er synlig.

Oppg 3 3.1. Her møter elevene bonden Ola som trenger hjelp til å lage en rektangulær innhegning til hestene sine.

A: Elevene skal få et forhold til sammenhengen mellom lengde og bredde i et rektangel ved å trekke i glideren og diskutere hva som skjer med figuren. Ved å prøve seg frem med glideren kan elevene se praktiske eksempler til hvordan innhegningen kan se ut. Dette handler om å gjøre oppgaven mer virkelighetsnær for elevene, i tillegg til å legge grunnlaget for videre arbeid.

B: Dette er et åpent spørsmål som vi regner med å få mange ulike svar på. Vi ønsker at alle elevene skal forstå at lengden er avhengig bredden, og motsatt. De skal skrive svarene sine i tekstboksen nederst på siden for å skrifteliggjøre tankene sine. __Eksempler på svar:__ hvis vi vet lengden vet vi bredden og omvendt. Når lengden blir større blir bredden mindre og omvendt. Hvis lengden er 20 så er bredden 30. Sammenhengen er at de er avhengig av hverandre.

C: Vi regner ikke med at alle kommer i mål med denne oppgaven, men elevene kan likevel danne seg noen tanker rundt dette, slik at de kan delta i samtalen etterpå. Dette er en utvidelse av oppgave B som gir mulighet for mer utfordring.

→ Samtalen går fra oppgave B til C, fordi alle kan bidra med noe i oppgave B. Så selvom ikke alle finner ut av oppgave C, har de likevel mulighet til å følge samtalen videre og få ny innsikt rundt sammenhengen mellom lengde og bredde. Hensikten med denne oppgaven er å legge grunnlaget for neste oppgave. Utfordringen kan være å forstå at det er en sammenheng mellom lengde og bredde når du har en gitt omkrets.

b = 50 - l → b(l) = 50 - l ← funksjonsuttrykket (Bredden som en funksjon av lengden) l = 50 - b → l(b) = 50 - b ← funksjonsuttrykket (Lengden som en funksjon av bredden)

3.2. A: Elevene skal utforske sammenhengen mellom lengde, bredde og areal. Ved å ta i bruk glideren får de visualisert denne sammenhengen - virkelighetsnært.

B og C: Elevene utforsker hva som gir størst og minst areal og blir kjent med ulike punkter i grafen. De blir kjent med egenskaper til annengradsfunksjoner - toppunkt og nullpunkter - før de får utdelt begrepene. Vi prøver å legge til rette for begrepsforståelse ved å la elevene utforske egenskapene og erfare begrepet før det navngis. Vi knytter det praktiske i innhegningen til det abstrakte ved grafen.

D: Denne oppgaven handler om å kunne tolke en graf og hvordan det videre kobles til det praktiske i innhegningen. Her går elevene motsatt vei, nemlig fra det abstrakte i en graf til det praktiske i innhegningen.

De matematiske utfordringene i B, C og D kan være å se sammenhengen mellom den praktiske situasjonen og grafen. Elevene må koble to ulike medierende artefakter opp mot hverandre. Den praktiske situasjonen som funksjonen beskriver i forhold til en representasjon av funksjonen - bilde.

E: Dette er et åpent spørsmål som vi regner med å få mange ulike svar på. Vi ønsker at elevene skal skrifteliggjøre tankene sine, slik at det er lettere å hente svarene opp til samtale.

Matematiske utfordringer: Forstå sammenhengen mellom lengde, bredde og areal. Hvilke svar regner vi med å få: vet vi bredden og arealet vet vi lengden, vet vi lengden og areal vet vi bredden og vet vi lengden og bredden vet vi arealet. Arealet er avhengig bredden og lengden. Ved en gitt lengde og bredde er det et gitt areal. Hvis lengden er 30 er arealet det samme som hvis bredden hadde vært 30. Hvis lengden og bredden er 25 er det et kvadrat. Arealformelen: A = l * b.

F: Elevene skal først sitte og diskutere og samarbeide for å prøve å komme frem til en løsningsstrategi, men dette spørsmålet - i tillegg til resten av oppgaven - tar vi opp til samtale. Ikke alle elevene vil nå målet med å komme frem til denne løsningen, men ved at vi henter opp samtalen fra sammenhengen mellom lengde, bredde og areal, har vi større forutsetninger for å nå så mange så mulig med på diskusjonen.

Hvis vi hadde hatt mer tid, ville vi gjerne satt inn hint eller lignende på siden slik at elevene kunne prøvd seg frem lengre på egenhånd før klassesamtalen. Lærer må veilede elevene i riktig retning og spiller derfor en sentral rolle i problemløsningsarbeidet. Eksempler på hint: - Hva hvis: dere tar utgangspunktet i lengden (l som den ukjente) - Hva hvis: kan dere uttrykke sammenhengen ved bruk av arealformelen ved å skrive l er lik?

→ oppsummering for alt i oppgaven! Setter av god tid til dette. Hente inn alt vi har gjort i oppgave 3. Hva vi ønsker å få frem: hva elevene har lært. Knytte det vi har gjort i de ulike oppgavene opp til hverandre, fremme helheten avslutningsvis. Hvilke spørsmål vi ønsker å stille: be de vise hvor arealet er størst - hvorfor er det størst på grafen? Hvor på grafen kan vi se at areal er minst? Få frem at det er to punkter på grafen som viser dette. Forståelsen av sammenhengen mellom bredde og lengde → areal i grafen.

